Question

19．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分線，AD是高．
（1）求∠BAE的度數；     
 （2）求∠EAD的度數；
（3）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），請你根據（1）問的結果大膽猜想∠DAE與α，β間的等量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠B、∠C的度數利用三角形內角和定理即可求出∠BAC的度數，再根據角平分線的定義即可求出∠BAE的度數；
（2）由∠B、∠ADB的度數利用三角形內角和定理即可求出∠BAD的度數，再根據∠EAD=∠BAD-∠BAE代入數據即可得出結論；
（3）猜想∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α），重復（1）（2）的過程找出∠BAD和∠BAE的度數，二者做差即可得出結論．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-30°-50°=100°．
又∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×100°=50°．
（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10°．
（3）∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α），理由如下：
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β．
又∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．
∵∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）．

點評 本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義以及角的計算，解題的關鍵是：（1）利用三角形內角和定理結合角平分線的定義求出∠BAE的度數；（2）利用三角形內角和定理求出∠BAD的度數；（3）結合（1）（2）猜想出結論．