Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上，點(diǎn)Q在邊AD上，且BP=DQ，連接PQ交AC于E，交BD于F，若AB=3，AF=

5

，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

Answer 1

如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QG∥AB交OD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB交OA于H，
則△DGQ是等腰直角三角形，
∴DQ=QG，
又∵BP=DQ，
∴BP=QG，
由QG∥AB得，∠P=∠FQG，
在△PBF和△QGF中，

∠P=∠FQG ∠PFB=∠QFG BP=QG

，
∴△PBF≌△QGF（AAS），
∴PF=QF，
∴PQ=2AF=2

5

，
設(shè)BP=DQ=x，
則AB=3+x，AQ=3-x，
在Rt△APQ中，PQ²=AP²+AQ²，
即（2

5

）²=（3+x）²+（3-x）²，
解得x=1，
在Rt△AOF中，AO=BO=

3 2

2

，
OF=

AF2-AO2

=

5 2-( 3 2 2 )2

=

2

2

，
由FH∥AB得，

HF

AB

=

OF

BO

，
即

HF

3

=

2 2

3 2 2

，
解得HF=1，

HF

AP

=

EF

PE

，
即

1

3+1

=

EF

5 +EF

，
解得EF=

5

3

．
故答案為：

5

3

．