Question

20．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，折疊正方形使點A與E重合，折痕為MN，若梯形ADMN的面積是$\frac{3}{2}$，則正方形的邊長是2；梯形ADMN與梯形BCMN的面積之比是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 連接MA，ME，由翻折可得，AN=NE，AM=EM，設AB=AD=2x，AN=a，在Rt△BEN中，a²=（2x-a）²+x²，解得：a=$\frac{5}{4}$x，在Rt△ADM和Rt△EMC中，CM=2x-b，由勾股定理得出方程（2x-b）²+x²=（2x）²+b²，解得：DM=b=$\frac{1}{4}$x，由梯形ADMN的面積求出x=1，得出AB=2；因為兩個梯形的高相等，所以面積比即為邊長（DM+AN）與（BN+CM）的比，即可得出結果．

解答 解：連接MA，ME，如圖所示：
由翻折可得，AN=NE，AM=EM，
設AB=AD=2x，AN=a，
在Rt△BEN中，a²=（2x-a）²+x²，
解得：a=$\frac{5}{4}$x，
在Rt△ADM，設DM=b，則AM²=（2x）²+b²，
在Rt△EMC中，CM=2x-b，則EM²=（2x-b）²+x²，
∴（2x-b）²+x²=（2x）²+b²，
解得：DM=b=$\frac{1}{4}$x，
∵梯形ADMN的面積=$\frac{1}{2}$（DM+AN）•AD=$\frac{3}{2}$
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$x）•2x=$\frac{3}{2}$，
解得：x=±1（負值舍去），
∴x=1，
∴AB=2，DM=$\frac{1}{4}$，AN=$\frac{5}{4}$，BN=$\frac{3}{4}$，CM=$\frac{7}{4}$，
梯形ADMN與梯形BCMN的面積之比=$\frac{DM+AN}{BN+CM}$═$\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}+\frac{7}{4}}$=$\frac{3}{5}$；
故答案為：2；$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質、正方形的性質、勾股定理、梯形面積的計算；熟練掌握翻折變換和正方形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．