Question

12．如圖所示，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，求四邊形APBC的面積；
（3）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得其拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得P點坐標，過P作PM⊥x軸于點M，則可分別求得△PAB和△ABC的面積，則可求得四邊形APBC的面積；
（3）過點D作DE∥y軸，交直線AC于點E，由A、C兩點可求得直線AC解析式，可設出點D坐標，則可表示出E點坐標，則可表示出DE的長，可表示出△ADC的面積，根據二次函數的性質可求得其最大值時的D點的坐標．

解答 解：
（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$；
（2）如圖1，過點P作PM⊥x軸于點M，

∵頂點$P（\frac{5}{2}，\frac{9}{8}）$，
∴$PM=\frac{9}{8}$，
∵A（4，0），B（1，0），
∴AB=4-1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3，S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•PM=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{8}$=$\frac{27}{16}$，
∴S_{四邊形APBC}=S_△ABC+S_△PAB=3+$\frac{27}{16}$=$\frac{75}{16}$；
（3）如圖2，過D作y軸的平行線交AC于E，

設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為$-\frac{1}{2}{t^2}+\frac{5}{2}t-2$，
設直線AC解析式為y=kx+m，
∵A（4，0），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E點的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∵D在直線AC上方，
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∵-1＜0，
∴當t=2時，△DAC面積最大，
∴D（2，1）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角形的面積、二次函數的性質及方程思想等知識點．在（1）中掌握待定系數法的應用步驟是解題的關鍵，在（2）中把四邊形APBC分成兩個三角形是解題的關鍵，在（3）中用D點坐標表示出△DAC的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．