Question

10．如圖，已知直線y=-x+5分別交x軸，y軸于B，C兩點，拋物線y=x²+bx+c的圖象經過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=6S₂，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，令y=0求得直線y=-x+5與兩坐標軸的交點坐標，則B（5，0），C（0，5），然后將點B和點C的坐標代入拋物線的解析式求得b、c的值即可得到拋物線的解析式；
（2）設M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），則N（x，-x+5），然后得到MN的長度與x的函數關系，然后利用配方法可求得MN的最大值；
（3）先求得點N的坐標，然后再求得A，B的坐標，則可得到△ABN的面積，于是可得到平行四邊形CBPQ的面積S₁=30，依據平行四邊形的面積公式可求得平行四邊形的高=3$\sqrt{2}$，點B作BC的垂線，截取DB=3$\sqrt{2}$，過點D作直線DE∥BC，交x軸與點E，交拋物線與P，P′兩點，然后證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=6，故此可知E（-1，0），設直線DE的解析式為y=-x+t，將點E（-1，0）代入可求得直線DE的解析式為y=-x-1，最后將y=-x-1與y=x2-6x+5聯立可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵在y=-x+5中，令x=0得：y=5，令y=0得：x=5．
∴B（5，0），C（0，5）．
將點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得：b=-6，c=5．
所以拋物線的解析式為y=x²-6x+5．
（2）如圖1所示：

設M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），則N（x，-x+5）．
∵MN=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當x=$\frac{5}{2}$時，MN有最大值$\frac{25}{4}$．
（3）∵MN取得最大值時，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得：x=1或x=5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=5-1=4．
∴△ABN的面積S₂=$\frac{1}{2}$×4×2.5=5．
∴平行四邊形CBPQ的面積S₁=6S₂=30．
設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為h．
∵BC=5$\sqrt{2}$，
∴BC•h=30．
∴h=3$\sqrt{2}$．
如圖2所示：過點B作BC的垂線，截取DB=3$\sqrt{2}$，過點D作直線DE∥BC，交x軸與點E，交拋物線與P，P′兩點．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°．
∴△EBD為等腰直角三角形，則BE=$\sqrt{2}$BD=6．
∵B（5，0），
∴E（-1，0）．
設直線DE的解析式為y=-x+t，將點E（-1，0）代入得：1+t=0，
解得：t=-1．
∴直線DE的解析式為y=-x-1．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-6x+5}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$
∴點P的坐標為（2，-3）或（3，-4）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，配方法求二次函數的最值，等腰直角三角形的性質和判定，三角形和平行四邊形的面積公式，得到MN與x的函數關系式是解答問題（2）的關鍵，求得直線DE的解析式是解答問題（3）的關鍵．