Question

6．如圖，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中點，求證：OM平分∠AOB．

Answer 1

分析 連接OC、OD，利用“邊角邊”證明△AOC和△BOD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOC=∠BOD，全等三角形對應邊相等可得OC=OD，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠COM=∠DOM，然后求出∠AOM=∠BOM，根據角平分線的定義證明即可．

解答 證明：如圖，連接OC、OD，
∵OA⊥AC，OB⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠A=∠B=90°}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∵M是CD的中點，
∴∠COM=∠DOM，
∴∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM，
即∠AOM=∠BOM，
∴OM平分∠AOB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．