Question

19．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點G，H，則$\frac{EF}{GH}$的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，根據(jù)AO是∠EAF的平分線，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判斷出OI、CI的關(guān)系，再根據(jù)GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．

解答 解：如圖，連接AC、BD、OF，，
設(shè)⊙O的半徑是r，
則OF=r，
∵AO是∠EAF的平分線，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×2=$\sqrt{3}$r，
∵AO=2OI，
∴OI=$\frac{1}{2}$r，CI=r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{1}{2}$r，
∴$\frac{GH}{BD}=\frac{CI}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$BD=r，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}r}{r}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了正多邊形與圓的關(guān)系、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確正多邊形的有關(guān)概念．