Question

10．探索與運用：

（1）基本圖形：如圖①，已知OC是∠AOB的角平分線，DE∥OB，分別交OA、OC于點D、E．求證：DE=OD；    
（2）在圖②中找出這樣的基本圖形，并利用（1）中的規律解決這個問題：已知△ABC中，兩個內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，交AB、AC于點D、E．求證：DE=BD+CE；
（3）若將圖②中兩個內角的角平分線改為一個內角（如圖③，∠ABC）、一個外角（∠ACF）和兩個都是外角（如圖④∠DBC、∠BCE）的角平分線，其它條件不變，則線段DE、BD、CE的數量關系分別是：圖③為DE=BD-CE、圖④為DE=BD+CE：并從中任選一個結論證明．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠AOC=∠BOC，根據平行線的性質得到∠DEO=∠BOC，等量代換得到∠DEO=AOC，根據等腰三角形的判定即可得到結論；
（2）根據△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O．求證∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，再利用兩直線平行內錯角相等，求證出∠DOB=∠DBO，∠COE=∠BCO，即BD=DO，OE=CE，然后利用等量代換即可求出結論；
（3）選③證明：由（1）中證明可得：DB=DO，EO=EC，根據線段的和差即可得到結論

解答 證明：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵DE∥OB，
∴∠DEO=∠BOC，
∴∠DEO=AOC，
∴DE=OD；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．
∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴BD=DO，OE=CE，
∴DE=BD+CE；

（3）圖③：DE=BD-CE，圖④：DE=BD+CE，
選③證明：
由（1）中證明可得：DB=DO，EO=EC，
∴DE=OD=OE=DB-CE．
故答案為：DE=BD-CE，DE=BD+CE．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．