Question

1．在平面直角坐標系中，點A（a，a），以點B（0，4）為圓心，半徑為1的圓上有一點C，直線AC與⊙B相切，切點為C，則線段AC的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{7}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{7}$-1

Answer 1

分析 連結AB、BC，如圖，由A點坐標易得點A在直線y=x上，作BH⊥直線y=x于H，則△BOH為等腰直角三角形，所以BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$，再根據切線的性質得∠ACB=90°，則利用勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-1}$，易得AB最小時，AC的值最小，利用垂線段最短得到AB的最小值為2$\sqrt{2}$，所以AC的最小值為$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．

解答 解：連結AB、BC，如圖，
∵A點坐標為（a，a），
∴點A在直線y=x上，
作BH⊥直線y=x于H，
∵∠AOB=45°，
∴△BOH為等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$，
∵直線AC與⊙B相切，切點為C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-1}$，
當AB最小時，AC的值最小，
而點A在H點時，AB最小，此時AB=BH=2$\sqrt{2}$，
∴AC的最小值為$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決本題的關鍵是確定AB的最小值．