Question

3．已知對所有的實數x，|x|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，則m可取得的最大值為2．

Answer 1

分析 利用絕對值三角不等式求得|x|+|x-2|≥2，結合題意可得 2≥m，從而求得m的最大值．

解答 解：根據題意得：|x|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|≥m，
∵$\sqrt{x-1}$≥0，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
當1≤x≤2時，|x|+|x-2|的最小值為2，
∵$\sqrt{x-1}$≥0，
∴當x=1時，|x|+$\sqrt{x-1}$+|x-2的最小值為2，
∴2≥m，
∴m可取得的最大值為2；
故答案為：2．

點評 本題主要考查有理數無理數的概念與運算、絕對值以及不等式，函數的恒成立問題；解題的關鍵是要注意函數的恒成立與函數的最值的相互轉化，體現了轉化思想在解題中的應用解題中要注意函數定義域的條件．