Question

3．將一個矩形減去一個正方形所剩的矩形與原矩形相似，則原矩形的寬與長的比為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設原矩形的長與寬分別為x、y，表示出剩下矩形的長與寬，然后根據相似多邊形的對應邊成比例列出比例式，然后進行計算即可求解．

解答 解：設原矩形的長與寬分別為x、y，則剩下矩形的長是y，寬是x-y，
∵剩下的矩形與原矩形相似，
∴$\frac{x}{y}=\frac{y}{x-y}$，
整理得，x²-xy-y²=0，
解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$y或x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$y（舍去），
∴原矩形的寬與長的比為$\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題主要考查了多邊形對應邊成比例的性質，表示出剩下的矩形的長與寬是解題的關鍵．