Question

14．小明做數(shù)學作業(yè)時遇到一道證明題：求證三角形的三條角平分線交于一點．
小明首先根據(jù)題意畫出圖形如圖1．

然后他將原命題轉(zhuǎn)化為：
已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點I，求證：AI是∠BAC的角平分線．
（1）請幫小明補全命題的結論：AI是∠BAC的角平分線；
（2）結合圖2，補全下面證明過程（括號中填寫定理內(nèi)容）
作IP⊥BC于點P，IQ⊥AC于點Q，IR⊥AB于點R．
∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB
∴IP=IR（角的平分線上的點，到角兩邊的距離相等）
同理：IP=IQ
∴IQ=IR
又∵IQ⊥AC，IR⊥AB
∴AI平分∠BAC（到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）
（3）根據(jù)上述結論，完成下述作圖任務：
如圖3，有一張矩形紙片，上面畫有一個角的兩邊m，n，但是這個角的頂點P在紙片的外部，試在紙片上作出∠P的平分線．（要求：尺規(guī)作圖，不得折紙，不得超出矩形紙片，保留作圖痕跡，不必寫作法）

Answer 1

分析 （1）把文字命題寫成已知，求證即可解決問題．
（2）作IP⊥BC于點P，IQ⊥AC于點Q，IR⊥AB于點R．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及判定定理即可證明．
（3）如圖3中，設直線m與n交于點F，在直線m上取兩點A、D，在直線n上取兩點B、C，連接AB、CD．作∠FAB、∠FBA的角平分線交于點E，作∠FDC、∠FCD的角平分線交于點G，直線GE就是∠AFB的平分線．

解答 解：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點I，求證∠BAC的平分線．
故答案為∠BAC的平分線．
（1）題的結論：AI是∠BAC的平分線，
故答案為∠BAC的平分線．
（2）作IP⊥BC于點P，IQ⊥AC于點Q，IR⊥AB于點R．
∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB
∴IP=IR（角的平分線上的點，到角兩邊的距離相等）
同理：IP=IQ，
∴IQ=IR
又∵IQ⊥AC，IR⊥AB
∴AI平分∠BAC，（到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）
故答案分別為角的平分線上的點，到角兩邊的距離相等；  IP=IQ；IA是∠BAC的平分線；在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
（3）如圖3中，設直線m與n交于點F，在直線m上取兩點A、D，在直線n上取兩點B、C，連接AB、CD．

作∠FAB、∠FBA的角平分線交于點E，作∠FDC、∠FCD的角平分線交于點G，直線GE就是∠AFB的平分線．
所以圖中直線EG即為所求．

點評 本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)定理以及判定定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練應用所學知識解決問題，第三個問題的突破點是找到角平分線上的兩個點，即可解決問題．