Question

5．如圖，點BC是⊙O的直徑，點P是⊙O上異于B，C的一點，延長CB至A，使AB=$\frac{1}{2}$BC．
（1）如圖1，當PB=$\frac{1}{2}$PC時，求tan∠APB的值；
（2）如圖2，延長BC至D，使CD=$\frac{1}{2}$BC，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥BP，交AP于M，則BM∥PC，得出$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$，與已知條件得出$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，設BP=x，則PC=2x，BM=$\frac{2}{3}$x，由三角函數定義即可得出結果；
（2）作MB⊥BP于B，CN⊥CP于C，則BM∥CP，CN=BP，與平行線分線段成比例定理得出得出$\frac{BM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BP}{CN}$=3，$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$，由三角函數定義即可得出結果．

解答 解：（1）作BM⊥BP，交AP于M，如圖1所示：
則∠MBP=90°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，則BM∥PC，
∴$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
設BP=x，則PC=2x，
∴BM=$\frac{2}{3}$x，
∴tan∠APB=$\frac{BM}{BP}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{x}$=$\frac{2}{3}$；
（2）作MB⊥BP于B，CN⊥CP于C，如圖2所示：
則BM∥CP，CN=BP，
∴$\frac{BM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BP}{CN}$=3，$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠APB•tan∠DPC=$\frac{BM}{BP}$•$\frac{CN}{CP}$=$\frac{BM}{PC}$•$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查了圓周角定理、平行線分線段成比例定理、三角函數的定義等知識；熟練掌握圓周角定理和平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵．