Question

17．上午7：00，一列火車在A城的正北240km處，以120km/h的速度駛向A城．同時，一輛汽車在A城的正東120km處，以120km/h的速度駛向正西方向行駛．假設火車和汽車的行駛的方向和速度都保持不變，問：何時火車與汽車之間的距離最近？最近距離是多少千米？當火車與汽車之間的距離最近時，汽車是否已過鐵路與公路的立交處？

Answer 1

分析 畫出示意圖，利用勾股定理表示出兩車的距離，然后利用配方法求出兩車的距離最小值，計算出汽車行走路程與120km比較，可判斷是否已過交叉口．

解答 解：如圖所示：
設兩車經過時間為t，兩車之間的距離為y，兩車的行駛方向如圖所示，由題意得
AB=240-120t，AC=120-120t，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（240-120t）²+（120-120t）²=28800（t-$\frac{3}{2}$）²+7200，
當t=$\frac{3}{2}$時，BC之間的距離最小，此時BC=$\sqrt{7200}$=60$\sqrt{2}$km，
當t=$\frac{3}{2}$h時，汽車運動的距離為120×$\frac{3}{2}$=180km＞120km，
故已過鐵路與公路的交叉口．
答：當經過$\frac{3}{2}$小時時汽車與火車的距離最近，此時汽車已過鐵路與公路的交叉口．

點評 本題考查了二次函數的應用、勾股定理的知識，解答本題的關鍵是表示出兩車之間的距離表達式，注意掌握配方法求二次函數最值得應用，難度較大．