Question

20．若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，且a，m，n均為正整數，求a的值．

Answer 1

分析 根據完全平方公式計算（m+n$\sqrt{3}$）²，再根據對應項相等列出方程可求a的值．

解答 解：（m+n$\sqrt{3}$）²
=m²+2$\sqrt{3}$mn+3n²
=（m²+3n²）+2$\sqrt{3}$mn，
∵a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m}^{2}+3{n}^{2}=a\\ 2\sqrt{3}mn=4\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴mn=2．
∵m，n均為正整數，
∴當m=1時，n=2；當m=2時，n=1．
當m=1，n=2時，a=m²+3n²=1+12=13；
當m=2，n=1時，a=m²+3n²=4+3=7．
綜上所述，a的值為13或7．

點評 考查了實數的運算，關鍵是熟練掌握完全平方公式，以及方程思想的應用．