Question

10．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²-$\frac{7}{3}x+c$的圖象經(jīng)過點、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延長AC交x軸于點D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式及的m值；
（2）求∠ADO的余切值；
（3）過點B的直線分別與y軸的正半軸、x軸、線段AD交于點P（點A的上方）、M、Q，使以點P、A、Q為頂點的三角形與△MDQ相似，求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得系數(shù)a、c的值，從而得到函數(shù)解析式，然后把點C的坐標(biāo)代入來求m的值；
（2）由點A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式，然后根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點的求法得到點D的坐標(biāo)，所以結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義解答即可；
（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行解答．

解答 解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax²-$\frac{7}{3}x+c$，得
$\left\{\begin{array}{l}{8=c}\\{2=a×{6}^{2}-\frac{7}{3}×6+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
故該二次函數(shù)解析式為：y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8．
把C（9，m），代入y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8得到：m=y=$\frac{2}{9}$×9²-$\frac{7}{3}$×9+8=5，即m=5．
綜上所述，該二次函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8，m的值是5；

（2）由（1）知，點C的坐標(biāo)為：（9，5），
又由點A的坐標(biāo)為（0，8），
所以直線AC的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+8，
令y=0，則0=-$\frac{1}{3}$x+8，
解得x=24，
即OD=24，
所以cot∠ADO=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{24}{8}$=3，即cot∠ADO=3；

（3）在△APQ與△MDQ中，∠AQP=∠MQD．
要使△APQ與△MDQ相似，則∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根據(jù)題意，這種情況不可能），
∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．
作BH⊥y軸于點H，
在直角△PBH中，cot∠P=$\frac{PH}{BH}$=3，
∴PH=18，OP=20，
∴點P的坐標(biāo)是（0，20）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．