Question

19．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分線OD交BC邊于點D，連結AD
（1）求∠DAC的度數；
（2）若AC=4cm，求△ABC的面積（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據線段的垂直平分線的性質得到AD=BD，得到∠B=∠BAD=22.5°，根據三角形外角的性質求出∠ADC=45°，根據三角形內角和定理計算即可；
（2）過A點作AE⊥BC于點E，則AE=DE，根據直角三角形的性質求出AE、BC的長，根據三角形面積公式計算即可．

解答 解：（1）∵OD是AB的垂直平分線；
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=22.5⁰，
∴∠ADC=45°，
∵∠A=30°，
∴∠DAC=105°；
（2）過A點作AE⊥BC于點E，則AE=DE，
在Rt△ACE中，
∵AC=4，
∴AE=2，EC=2$\sqrt{3}$，
∴DE=2，
在Rt△AED中，
AD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴BC=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AE•BC$=$\frac{1}{2}×2×$（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）=（$2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2$）．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質、直角三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．