Question

16．（1）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度數；
（2）通過（1）的計算你發現∠1+∠2與∠A有什么數量關系？請寫出這個數量關系，并說明這個數量關系的正確性；
（3）將圖1中△ABC紙片的三個內角都進行同樣的折疊．
 ①如果折疊后三個頂點A、B、C重合于一點O時，如圖2，則圖中∠α+∠β+∠γ=180°；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；
 ②如果折疊后三個頂點A、B、C不重合，如圖3，則①中的關于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的結論是否仍然成立？請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置，若∠A=40°，可以求得∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，進而可以求得∠1+∠2的度數；
（2）先寫出數量關系，然后說明理由，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置，可以得到折疊后的各個角的關系，從而可以解答本題；
（3）根據第二問的推導，可以進行這一問結論的推導，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）-（∠A′ED+∠A′DE）=80°，
即∠1+∠2的度數是80°；
（2）∠1+∠2=2∠A，
理由：∵將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，∠A=∠A′，
∴∠1+∠2
=360°-（∠AED+∠ADE）-（∠A′ED+∠A′DE）
=360°-（180°-∠A）-（180°-∠A′）
=360°-180°+∠A-180°+∠A′
=2∠A，
即∠1+∠2=2∠A；
（3）①由題意可得，∠α+∠β+∠γ=360°-180°=180°，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠A+2∠B+2∠C=2（∠A+∠B+∠C）=2×180°=360°，
故答案為：180°，360°；
②如果折疊后三個頂點A、B、C不重合，如圖3，則①中的關于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的結論仍然成立；
理由：∵∠1+∠2=2∠A，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=2∠A+2∠B+2∠C
=2（∠A+∠B+∠C）
=360°，
即如果折疊后三個頂點A、B、C不重合，如圖3，則①中的關于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的結論仍然成立．

點評 本題考查翻折問題、角的計算，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．