Question

5．△ABC三邊的長分別為a、b、c，且滿足a²-4a+b²-4$\sqrt{2}$c=4b-16-c²，試判定△ABC的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 根據完全平方公式，可得非負數的和為零，可得每個非負數為零，可得a、b、c的值，根據勾股定理逆定理，可得答案．

解答 解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵a²-4a+b²-4$\sqrt{2}$c=4b-16-c²，
∴（a²-4a+4）+（b²-4b+4）+（c²-4$\sqrt{2}$c+8）=0，
即：（a-2）²+（b-2）²+（c-2$\sqrt{2}$）²=0．
∵（a-2）²≥0，（b-2）²≥0，（c-2$\sqrt{2}$）²≥0，
∴a-2=0，b-2=0，c-2$\sqrt{2}$=0，
∴a=b=2，c=2$\sqrt{2}$，
∵2²+2²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴a²+b²=c²，
所以△ABC是以c為斜邊的等腰直角三角形．

點評 本題考查了因式分解的應用，勾股定理逆定理，利用了非負數的和為零得出a、b、c的值是解題關鍵．