Question

9．古希臘畢達哥拉斯學派把自然數與小石子擺成的形狀比擬，借此把自然數分類，圖中的五角形數分別表示數1，5，12，22，…，那么第n個五角形數是$\frac{n（3n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 仔細觀察各個圖形中實心點的個數，找到個數之間的通項公式即可．

解答 解：第一個有1個實心點，
第二個有1+1×3+1=5個實心點，
第三個有1+1×3+1+2×3+1=12個實心點，
第四個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22個實心點，
…
第n個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=$\frac{3n（n-1）}{2}+n$=$\frac{n（3n-1）}{2}$個實心點，
故答案為：$\frac{n（3n-1）}{2}$．

點評 本題考查了圖形變化類的問題，解題的關鍵是仔細觀察每個圖形并從中找到通項公式．