Question

11．在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，∠BAC的平分線AQ交BC于點D，點P為AQ上一動點，過點P作直線l⊥AQ于P，分別交直線AB、AC、BC于點E、F、M．

（1）當直線l經過點B時（如圖1），求證：AB=AF；
（2）當M在BC延長線上時（如圖2），寫出BE、CF、CD之間的數量關系，并加以證明；
（3）當M是BC中點時，請補全圖3，并直接寫出$\frac{CD}{CF}$=2（不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據ASA可以證明△APB≌△APF得到AB=AF．
（2）通過輔助線構造△ADB≌△ADG，得到∠B=∠G，由∠ACB=2∠B，得到∠CDG=∠G，得到CD=CG，再證明BE=FG可以得到結論．
（3）根據中點M，構造△CNM≌△BEM，得到BE=CN，BE=FG，再證明CN=NF，進而得到結論．

解答 證明：（1）∵∠BAC的平分線AQ交BC于點D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線l⊥AQ，
∴∠APE=∠APF=90°，
在△ABP與△AFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APB=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AFP，
∴AB=AF；
（2）如圖2，延長AC到G使CG=CD，連接CD，
∴∠CDG=∠G，
∵∠ACB=∠G+∠CDG，
∴∠ACB=2∠G，
∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠B=∠G，
在△ABD與△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠BAD=∠GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AGD，
∴AB=AG，
在△EAP與△FAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APF=90°}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌△FAP，
∴AE=AF，
∴BE=GF，
∵GF=CG+CF=CF+CD，
∴BE=CF+CD；
（3）如圖，作CN∥AB交EF于N，
∵CN∥BA，
∠BEM=∠VNM，
在△BEM和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠CNM}\\{∠EMB=∠NMC}\\{BM=MC}\end{array}\right.$
∴△BME≌△CMN，
∴BE=CN，
由（2）可知CD=CG，AB=AG，AE=AF，
∴BE=FG，∠AEF=∠AFE，
∵∠CNF=∠AEF，
∴∠CNF=∠CFN，
∴CN=CF=FG，
∵CD=2CF，
∴$\frac{CD}{CF}$=2．
故答案為2．

點評 本題目考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，充分利用中點，2倍角添加輔助線是解決問題的關鍵．