Question

8．問題背景
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值，我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數關系式為：s=-x²+$\frac{1}{2}x（x＞0）$，利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值．
提出新問題
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌�？
分析問題
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（�。┲盗耍�
解決問題
借鑒我們已有的研究函數的經驗，探索函數y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的最大（�。┲担�
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的圖象：

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…

（2）觀察猜想：觀察該函數的圖象，猜想當x=1時，函數y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）有最小值（填“大”或“小”），是4．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數s=-x²+$\frac{1}{2}$x（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的最大（�。┲担�以證明你的猜想．〔提示：當x＞0時，x=（$\sqrt{x}$）²）．

Answer 1

分析 （1）分別把表中x的值代入所得函數關系式求出y的對應值填入表中，并畫出函數圖象即可；
（2）根據（1）中函數圖象的頂點坐標直接得出結論即可；
（3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可

解答 解：（1）填表如下：

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	8$\frac{1}{2}$	6$\frac{2}{3}$	5	4	5	6$\frac{2}{3}$	8$\frac{1}{2}$	…

（2）由函數圖象可知，其頂點坐標為（1，4），故當x=1時函數有最小值，最小值為4，
故答案為：1、小、4；

（3）證明：y=2[（$\sqrt{x}$）²+$\frac{1}{（\sqrt{x}）^{2}}$]
=2[（$\sqrt{x}$）²-2+$\frac{1}{（\sqrt{x}）^{2}}$+2]
=2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+4，
當$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=0時，y的最小值是4，即x=1時，y的最小值是4．

點評 本題考查的是二次函數的最值及配方法的應用，能利用數形結合求解是解答此題的關鍵．