Question

12．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=α，若固定△ABC，將△DEC繞點C旋轉．
（1）當△DEC繞點C旋轉到點D恰好落在AB邊上時，如圖2，則此時旋轉角為2α（用含的式子表示）．
（2）當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小楊同學猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學的猜想．若不正確，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖2，利用互余得到∠BAC=90°-α，再根據旋轉的性質得∠ACD等于旋轉角，CD=CA，然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ACD=2α；
（2）過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，通過證明△CBN≌△CEM得到BN=EM，然后根據三角形的面積公式可判斷S_△BCD=S_△ACE．

解答 解：（1）如圖2，
∵∠C=90°，∠ABC=∠DEC=α，
∴∠BAC=90°-α，
∵△DEC繞點C旋轉到點D恰好落在AB邊上，
∴∠ACD等于旋轉角，CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=90°-α，
∴∠ACD=180°-2（90°-α）=2α；
即旋轉角為2α；
故答案為2α；
（2）小揚同學猜想是正確的，證明如下：
過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠EMC}\\{∠1=∠2}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBN≌△CEM，
∴BN=EM，
∵S_△BDC=$\frac{1}{2}$•CD•BN，S_△ACE=$\frac{1}{2}$•AC•EM，
∵CD=AC，
∴S_△BCD=S_△ACE．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．利用全等三角形的知識證明BN=EM是解決（2）小題的關鍵．