Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，AM是∠DAC的平分線．
（1）實踐與操作：利用尺規按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）；
①作AC的中點 E． 
②連接BE并延長交AM于點F；
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關系和數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①作線段AC的垂直平分線交AC于點E即可；
②連接BE并延長交AM于點F即可；
（2）利用平行線的判斷得出AF∥BC，再利用全等三角形的判定得出△AEF≌△CEB（ASA），進而得出AF=BC．

解答 解：（1）①如圖，點E即為所求；
②如圖，點F即為所求；

（2）AF∥BC且AF=BC．
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC．
∵E是AC的中點，
∴AE=CE．
在△AEF和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠ECB}\\{AE=EC}\\{∠AEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC．

點評 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．