Question

8．如圖，二次函數y=ax²-4ax與x軸交于O，A兩點，y軸上有一點B（0，2），作經過O，A，B三點的⊙C，點P是第一象限內⊙C上的任意一點，連接BP，AP，當四邊形OAPB面積最大時，點P的坐標為（3，3）．

Answer 1

分析 當△PAB的面積最大時，四邊形AOBP的面積最大，因為AB是定值，所以當點P到AB的距離最大時，△PAB的面積最大值，此時PA=PB，作PE⊥y軸于E，PF⊥OA于F．由△PEB≌△PFA，推出PE=PF，設PE=PF=a，再證明四邊形PEOF是正方形，在 Rt△PAF中，利用勾股定理，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，

∵當△PAB的面積最大時，四邊形AOBP的面積最大，
∵AB是定值，
∴當點P到AB的距離最大時，△PAB的面積最大值，
此時PA=PB，作PE⊥y軸于E，PF⊥OA于F．
∵∠PBE+∠PBO=180°，∠PBO+∠PAF=180°，
∴∠PBE=∠PAF，
在△PEB和△PFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFA}\\{∠PBE=∠PAF}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PEB≌△PFA，
∴PE=PF，設PE=PF=a，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四邊形PEOF是正方形，
∴OF=PF=a，
∵BO=2，AO=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴PB=PA=$\sqrt{10}$，
在Rt△PAF中，∵PA²=PF²+AF²，
∴10=a²+（4-a）²，
∴a=3或1（舍棄）
∴點P坐標（3，3）．
故答案為（3，3）．

點評 本題考查二次函數與x軸的交點、正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．