Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-6ax（a＜0）與x軸正半軸交于點A，矩形BCDE的頂點B、E均在x軸上，C、D均在拋物線上，且點B的坐標為（1，0），拋物線的頂點為F，以CF為邊作正方形CFMN，以CD為底邊向上作等腰直角三角形CDH，連結FH．
（1）當點F在點H上方時，求FH的長．（用含a的代數式表示）
（2）當△FCD為等邊三角形時，求a的值．
（3）當點N落在拋物線的對稱軸上時，求此拋物線所對應的函數表達式．
（4）直接寫出所有使正方形CFMN有兩個頂點同時落在矩形BCDE邊上的a值．

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對稱軸方程為x=3，然后求得C（1，-5a），F（3，-9a），依據等腰直角三角形的性質求得△CDH的CD邊上的高為2，則可表示出EH的長；
（2）先求得△CDF的CD邊上的高為2$\sqrt{3}$，然后依據F_y-C_y=2$\sqrt{3}$列方程求解即可；
（3）當點N落在對稱軸上時，點H與點F重合，即FH=-4a-2=0；
（4）首先根據題意畫出符合題意的圖形，然后找出圖中全等的三角形，然后依據全等三角形的性質求得相關線段的長，然后列出關于a的方程求解即可．

解答 解：（1）拋物線的對稱軸為x=$\frac{6a}{2a}$=3，
由題意可知點C與點D關于x=3對稱，
∴CD=4．
當x=1，y=a-6a=-5a，
∴C（1，-5a）．
∵CDH為等腰直角三角形，CD=4，
∴CD邊上的高=2．
當x=3時，y=9a-18a=-9a．
∴FH=-9a-（-5a+2）=-4a-2．
（2）當△FCD為等邊三角形時，△CDF的CD邊上的高=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴-4a-2+2=2$\sqrt{3}$，解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）當點N落在對稱軸上時，點H與點F重合，即FH=-4a-2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x．
（4）如圖1所示：

∵∠DCN+∠CND=90°，∠DCN+∠FCG=90°．
∴∠CND=∠FCG．
在△CGF和△NDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CND=∠FCG}\\{∠NDC=∠CGF}\\{CF=CN}\end{array}\right.$，
∴△CGF≌△NDC．
∴CD=FG=4．
∵GF=-9a-（-5a）=-4a，
∴-4a=4，解得a=-1．
如圖2所示：當點M與點D重合時，點N在拋物線的對稱軸上．

由（3）可知a=-$\frac{1}{2}$．
如圖3所示：當點N在BE上時．

∵∠BCN+∠NCG=90°，∠NCG+∠GCF=90°，
∴∠BCN=∠GCF．
在△BCN和△GCF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BCN=∠GCF}\\{∠CBN=∠CGF}\\{CN=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△GCF．
∴BC=CG=2，即-5a=2，解得：a=-$\frac{2}{5}$．
如圖4所示：

∵∠CFI+∠MFG=90°，∠MFG+∠FGM=90°，
∴∠CFI=∠FMG．
在△CFI和△FMG中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFI=∠FMG}\\{∠FIC=∠FGM=90°}\\{CF=FM}\end{array}\right.$，
∴△CFI≌△FMG．
∴FG=CI=2，即-9a=2，解得：a=-$\frac{2}{9}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數的對稱性，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質、正方形的性質以及全等三角形的性質和判定，依據題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．