Question

1．在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點，E是AB的中點，作EF⊥BC于F，延長BC至G，使CG=BF，連接CE、DE、DG．
（1）如圖1，求證：四邊形CEDG是平行四邊形；
（2）如圖2，連接EG交AC于點H，若EG⊥AB，請直接寫出圖2中所有長度等于$\sqrt{2}$GH的線段．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形CEDG是平行四邊形，只要證明DE∥CG，DE=CG即可．
（2）由四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，推出DH=CH，GH=HE，設DH=CH=a，則AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE²=AD•AH=2a•3a=6a²，推出AE=$\sqrt{6}$a，在Rt△AEH中，HE=$\sqrt{A{H}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-（\sqrt{6}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，推出AE=$\sqrt{2}$HE，因為GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的$\sqrt{2}$倍．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，
∴EC=EA=EB，
∵EF⊥BC，
∴CF=FB，
∵AD=DC，AE=EB，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∵CG=BF，
∴DE=CG，DE∥CG，
∴四邊形四邊形CEDG是平行四邊形；

（2）解：如圖2中，

∵四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，
∴DH=CH，GH=HE，設DH=CH=a，則AD=CD=2a，
∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AEH，
∴AE²=AD•AH=2a•3a=6a²，
∴AE=$\sqrt{6}$a，
在Rt△AEH中，HE=$\sqrt{A{H}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-（\sqrt{6}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴AE=$\sqrt{2}$HE，
∵GH=HE，AE=EB=CE=CD，
∴線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的$\sqrt{2}$倍．

點評 本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．