Question

12．如圖，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC下方的拋物線上有一動點P，使△PBC得面積最大，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三點代入求出a、b、c的值即可；
（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得PD的長，根據三角形的面積公式，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-$\frac{5}{2}$）三點在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；
（2）如圖1
，
作PE⊥AB于E交BC于D點，
BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
設P點坐標（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$），D（m，$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$），
PD的長為$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$-（$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD•x_B=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m）×5=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{25}{4}$m=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
當m=$\frac{5}{2}$時，S_最大，
$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$=-$\frac{35}{8}$，
即P點坐標為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{8}$）．

（3）存在．
如圖2所示，
①當點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，-$\frac{5}{2}$），
∴N₁（4，-$\frac{5}{2}$）；
②當點N在x軸上方時，
如圖，過點N₂作N₂D⊥x軸于點D，
在△AN₂D與△M₂CO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{N}_{2}AD=∠C{M}_{2}O}\\{A{N}_{2}=C{M}_{2}}\\{∠A{N}_{2}D=∠{M}_{2}CO}\end{array}\right.$
∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=$\frac{5}{2}$，即N₂點的縱坐標為$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得x=2+$\sqrt{14}$或x=2-$\sqrt{14}$，
∴N₂（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$），N₃（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，-$\frac{5}{2}$），（2+$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）或（2-$\sqrt{14}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，解（2）的關鍵是平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標得出PD的長，在解答（3）時要注意進行分類討論．