Question

16．如圖是一種新型娛樂設施的示意圖，x軸所在位置記為地面，平臺AB∥x軸，OA=6米，AB=2米，BC是反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象的一部分，CD是二次函數y=-x²+mx+n圖象的一部分，連接點C為拋物線的頂點，且C點到地面的距離為2米，D點是娛樂設施與地面的一個接觸點．
（1）試求k，m，n的值；
（2）試求點B與點D的水平距離．

Answer 1

分析 （1）把B（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$，可得y=$\frac{12}{x}$，把y=2代入y=$\frac{12}{x}$，于是求得C點坐標為（6，2）．由于二次函數y=-x²+mx+n的頂點為C，于是得到y=-（x-6）²+2，即可得到結論；
（2）把y=0代入y=-（x-6）²+2，求得x₁=6+$\sqrt{2}$，x₂=6-$\sqrt{2}$．即可得到結論．

解答 解：（1）把B（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$，可得y=$\frac{12}{x}$，
把y=2代入y=$\frac{12}{x}$，可得x=6，即C點坐標為（6，2）．
∵二次函數y=-x²+mx+n的頂點為C，
∴y=-（x-6）²+2，
∴y=-x²+12x-34．
∴k=12，m=12，n=-34；

（2）把y=0代入y=-（x-6）²+2，解得：x₁=6+$\sqrt{2}$，x₂=6-$\sqrt{2}$．
故點B與點D的距離為6+$\sqrt{2}$-2=4+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了點的坐標的求法，反比例函數的應用，二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．