Question

14．如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP，延長后交AD于點E，交BA的延長線于點F．
（1）求證：△APD≌△CPD；
（2）求證：PC²=PE•PF；
（3）若PE=2，EF=6，FB=16，求菱形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質結合條件可證明△APD≌△CPD；
（2）根據全等三角形的性質得到∠DAP=∠DCP，根據平行線的性質得到∠DCP=∠F，等量代換得到∠DAP=∠F，推出△APE∽△FPA，根據相似三角形的性質得到$\frac{AP}{FP}$=$\frac{PE}{PA}$，于是得到PA²=PE•PF，等量代換即可得到結論；
（3）根據PC²=PE•PF，求得PC=4，根據平行線分線段成比例得到$\frac{FB}{CD}=\frac{PF}{PC}$，代入數據即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴$\frac{AP}{FP}$=$\frac{PE}{PA}$，
∴PA²=PE•PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF；

（3）∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴$\frac{FB}{CD}=\frac{PF}{PC}$，
∴$\frac{16}{CD}=\frac{8}{4}$
∴CD=8，
∴菱形ABCD的邊長是8．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質，菱形的性質，相似三角形的判定及性質，在（2）中證明△APE∽△FPA是解題的關鍵．