Question

8．（1）已知二次函數(shù)y=（x-1）（x-3）的圖象如圖，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出該二次函數(shù)圖象經(jīng)過怎樣的左右平移，新圖象通過坐標(biāo)原點(diǎn)？
（2）在關(guān)于二次函數(shù)圖象的研究中，秦篆曄同學(xué)發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax²-bx+c（a≠0）和拋物線y=ax²-bx+c（a≠0）關(guān)于y軸對(duì)稱，基于協(xié)作共享，秦同學(xué)將其發(fā)現(xiàn)口訣化“a、c不變，b相反”供大家分享，而在旁邊補(bǔ)筆記的胡莊韻同學(xué)聽成了“a、c相反，b不變”，并按此法誤寫，然而按此誤寫的拋物線恰巧與原拋物線也對(duì)稱，請(qǐng)你寫出小胡同學(xué)所寫的與原拋物y=（x-1）（x-3）的對(duì)稱圖形的解析式，并研究其與原拋物線的具體對(duì)稱情況；
（3）拋物線y=（x-1）（x-3）與x軸從左到右交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)點(diǎn)N滿足怎樣的條件，以點(diǎn)N、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△MAB有可能相似，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）E、F為拋物線y=（x-1）（x-3）上兩點(diǎn)，且E、F關(guān)于D（$\frac{3}{2}$，0）對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)，即可求得平移的方向和距離；
（2）根據(jù)“a、c相反，b不變”，即可求得對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后確定頂點(diǎn)即可判斷；
（3）△MAB中M是在拋物線的對(duì)稱軸上，則△MAB為等腰三角形，則△NBC是等腰三角形，同時(shí)根據(jù)∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一個(gè)角的度數(shù)，據(jù)此即可討論，求解；
（4）設(shè)E的坐標(biāo)是（a，a²-4a+3），由點(diǎn)E與F關(guān)于點(diǎn)D（$\frac{3}{2}$，0）對(duì)稱，則可得F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可列方程求解．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=（x-1）（x-3）與x軸的交點(diǎn)是（1，0）和（3，0）．
拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或3個(gè)單位長(zhǎng)度即可使新圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；
（2）y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
∵小胡同學(xué)聽成了a與c相反，b不變．
∴y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），
故與原拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（3）∵△MAB中M是在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴MA=MB，即△MAB為等腰三角形，
又∵△MAB與△NBC相似，
∴△NBC是等腰三角形．
∵N在x軸上，
∴∠CBN=45°或135°．
當(dāng)∠CBN=135°時(shí)，即N點(diǎn)在B的右側(cè)且BC=BN，則N的坐標(biāo)是（3+3$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)∠CBN=45°時(shí)，即N在點(diǎn)B的左側(cè)，
若△MAB的底角為45°，此時(shí)三角形為等腰直角三角形，則N的坐標(biāo)是（0，0）或（-3，0）；
若△MAB的頂角是45°時(shí)，在△NBC中，BC=BN=3$\sqrt{2}$，則N的坐標(biāo)是（3-3$\sqrt{2}$，0）；
（4）設(shè)E的坐標(biāo)是（a，a²-4a+3），
由點(diǎn)E與F關(guān)于點(diǎn)D（$\frac{3}{2}$，0）對(duì)稱，則可得F（3-a，a²-2a），
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即a²-4a+3+a²-2a=0，
解得：a₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，a₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴E的縱坐標(biāo)是（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)的坐標(biāo)是（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，正確理解△NBC是等腰三角形是本題的關(guān)鍵．