Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，若AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，
求：（1）∠A的度數(shù)； 
（2）弦CD的長； 
（3）弓形CBD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CB，AC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°；解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）解直角三角形得到CP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（3）連接CO，OD，根據(jù)圓周角定理得到∠COD=120°，求得S_扇形COD=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，S_△COD=$\frac{1}{2}$CD•OP=$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接CB，AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∴CB²=AB²-AC²=4²-（2√3）²=16-12=4
∴CB=2=$\frac{1}{2}$AB
∴∠A=30°；
（2）∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
CD=2CP=AC=2$\sqrt{3}$；
（3）連接CO，OD，
∵CO=AO，
∴∠A=∠ACO=30°，∠COB=2∠A=60°，
∴∠COD=120°，
∴S_扇形COD=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∵OP=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$CD•OP=$\sqrt{3}$，
∴弓形CBD的面積=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了垂徑定理、勾股定理以及扇形的面積的計算，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．