Question

5．如圖，在邊長為10的正方形ABCD中，△PAQ是正三角形，求PB的長．

Answer 1

分析 設PB=x，根據正方形以及等邊三角形的性質求出PQ與PC的表達式，然后利用勾股定理列出方程求出x的值．

解答 解：設PB=x，
∴PC=10-x，
由題意可知：AD=AB，AQ=AP
在Rt△AQD與Rt△APB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AQD≌Rt△APB（HL）
∴DQ=PB=x，
∴CQ=10-x，
在Rt△APB中，AP²=100+x²，
在Rt△CQP中，AP²=CQ²+PC²，
∴100+x²=2（10-x）²
化簡：x²-40x+100=0，
解得：x=20±10$\sqrt{3}$，
∵x＜10，
∴PB=x=20-10$\sqrt{3}$

點評 本題考查正方形以及等邊三角形的性質，涉及勾股定理，全等三角形的判定與性質，一元二次方程的解法．