Question

2．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（40，0），（0，30），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E、F，連接EP、FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求t=15時(shí)，△PEF的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（40，0），（0，30）得出OA及OB的長(zhǎng)，再由EF∥x軸得出EF是△BOA的中位線，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）用t表示出OE及OP的長(zhǎng)，再分△EOP∽△BOA與△EOP∽△AOB兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（40，0），（0，30），
∴OA=40，OB=30．
∵動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），
∴t=15時(shí)，BE=30-15=15，
∵EF∥x軸，
∴EF是△BOA的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA=20，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•OE=$\frac{1}{2}$×20×15=150；

（2）∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），
∴OE=t，OP=40-2t，
∴當(dāng)△EOP∽△BOA時(shí)，$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{t}{30}$=$\frac{40-2t}{40}$，解得t=12（秒）；
當(dāng)△EOP∽△AOB時(shí)，$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{40-2t}{30}$=$\frac{t}{40}$．解得t=$\frac{160}{11}$（秒）．
綜上所述，當(dāng)t=12秒或t=$\frac{160}{11}$秒時(shí)，△EOP與△BOA相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似形綜合題，涉及到三角形中位線定理、三角形的面積公式及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．