Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，把△BPC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BQA．
（1）若AC=2$\sqrt{2}$，求四邊形APBQ的面積；
（2）若PC比AP多2，且△PBQ的面積為5，求正方形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，則可計(jì)算出S_△ABC=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S_△BQA=S_△BPC，于是可利用S_{四邊形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC求解；
（2）設(shè)AP=x，則PC=x+2，利用正方形的性質(zhì)得∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，則可判斷△PBQ為等腰直角三角形，利用△PBQ的面積為5可計(jì)算出PQ=2$\sqrt{5}$，再證明∠QAP=90°，則利用勾股定理得到x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），則AP=2，PC=4，然后利用正方形的性質(zhì)可得AB的長(zhǎng)，從而可計(jì)算出正方形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△BPC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BQA，
∴S_△BQA=S_△BPC，
∴S_{四邊形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC=2；
（2）設(shè)AP=x，則PC=x+2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵△BPC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BQA，
∴∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，
∴△PBQ為等腰直角三角形，
∵△PBQ的面積為5，
∴$\frac{1}{2}$PB²=5，解得PB=$\sqrt{10}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∵∠BAQ+∠BAC=45°+45°=90°，即∠QAP=90°，
∴AP²+AQ²=PQ²，即x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴AP=2，PC=4，
∴AC=6，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=12$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．