Question

20．如圖，點A，點B在以點O為圓心的圓上，且∠AOB=30°，如果甲機器人從點A出發沿著圓周按順時針方向以每秒5°的速度行駛，乙機器人從點B出發沿著圓周按逆時針方向行駛，速度是甲機器人的2倍，經過一段時間后，甲、乙分別運動到點C，點D，當乙機器人第一次到達點B時，甲、乙同時停止運動．
（1）當射線OB是∠COD的角平分線時，求出∠AOC的度數．
（2）在機器人運動的整個過程中，若∠COD=90°，求甲機器人運動的時間（要求，在備用圖中畫出圖形）．

Answer 1

分析 （1）根據機器人的運動速度，設∠AOC=x°，則∠BOD=2x°，根據角平分線的定義，列出方程即可解答；
（2）根據運動過程中，∠COD=90°，可以分三種情況討論，從而列出方程，解答即可．

解答 解：（1）甲機器人的運動速度每秒為5°，乙機器人的運動速度為每秒10°，
設∠AOC=x°，則∠BOD=2x°，
∵OB是∠COD的平分線，
∴∠BOC=∠BOD=x+30°，
∵∠BOD=2x°，
∴2x=30+x，解得：x=30°．

（2）分三種情況討論：
①當OC，OD運動到如圖1所示的位置時，

設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t=90，解得：t=4；
②當OC，OD運動到如圖2所示的位置時，

設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；
③當OC，OD運動到如圖3所示的位置時，

設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t-90=360，解得：t=28；
答：在機器人運動的整個過程中，若∠COD=90°，甲運動的時間分別為4秒，16秒，28秒．

點評 本題主要考查角的運算中的動點問題及一元一次方程的應用，解決第（2）小題的關鍵是能考慮到各種滿足∠COD的情況．