Question

5．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．
（1）求證△BCD是直角三角形；
（2）點P為線段BD上一點，若∠PCO+∠CDB=180°，求點P的坐標；
（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方成頂點式求頂點D的坐標，和與y軸的交點C的坐標，由勾股定理計算△BDC三邊的平方，利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形；
（2）作輔助線，構建直角三角形PCQ與直角三角形BDC相似，根據比例式表示出點P的坐標，利用待定系數法求直線BD的解析式，因為點P為線段BD上一點，代入直線BD的解析式列方程可求出點P的坐標；
（3）同理求直線CD的解析式為：y=-x-3，由此表示點N的坐標為（a，-a-3），因為M在拋物線上，所以設M（x，x²-2x-3），根據同角的三角函數得：tan∠BDE=tan∠CMN=$\frac{1}{2}$，則$\frac{CN}{MN}=\frac{1}{2}$，
如圖2，證明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程組解出即可；
如圖3，證明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程組解出即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（0，-3），D（1，-4），
由勾股定理得：BC²=3²+3²=18，
CD²=1²+（4-3）²=2，
BD²=（3-1）²+4²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
即∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（2）作PQ⊥OC于點Q，
∴∠PQC=90°，
∵∠PCO+∠CDB=180°，
∠PCO+∠PCQ=180°，
∴∠CDB=∠PCQ，
∵∠PQC=∠BCD=90°，
∴△PCQ∽△BDC，
∴$\frac{PQ}{CQ}=\frac{BC}{DC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
∴PQ=3CQ，
設CQ=m，則PQ=3m，
設P（3m，-3-m），
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0）、D（1，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=2x-6，
將點P的坐標代入直線BD：y=2x-6得：
-3-m=2×3m-6，
m=$\frac{3}{7}$，
∴3m=$\frac{9}{7}$，-3-m=-3-$\frac{3}{7}$=-$\frac{24}{7}$，
∴P（$\frac{9}{7}$，-$\frac{24}{7}$）；
  （3）∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠CMN=$\frac{BE}{DE}=\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CN}{MN}=\frac{1}{2}$，
同理可求得：CD的解析式為：y=-x-3，
設N（a，-a-3），M（x，x²-2x-3），
①如圖2，過N作GF∥y軸，過M作MG⊥GF于G，過C作CF⊥GF于F，
則△MGN∽△NFC，
∴$\frac{MG}{FN}=\frac{NG}{FC}$=$\frac{MN}{NC}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{x-a}{3-a-3}=\frac{{x}^{2}-2x-3+a+3}{-a}$=2，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-a=-2a}\\{{x}^{2}-2x-3+a+3=-2a}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍），x₂=5，
當x=5時，x²-2x-3=12，
∴M（5，12），
②如圖3，過N作FG∥x軸，交y軸于F，過M作MG⊥GF于G，
∴△CFN∽△NGM，
∴$\frac{FC}{NG}=\frac{FN}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a+3-3}{x-a}$=$\frac{a}{a+3-（-{x}^{2}+2x+3）}$=$\frac{1}{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-a=2a}\\{2a=a+3+{x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍），x₂=$\frac{7}{3}$，
當x=$\frac{7}{3}$時，y=x²-2x-3=-$\frac{20}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
綜上所述，點M的坐標（5，12）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，還考查了勾股定理的逆定理、相似三角形的性質和判定，并掌握利用解析式表示點的坐標，根據已知條件列方程或方程組求出未知數的值，本題的第二問和第三問都是證明三角形相似解決問題．