Question

16．已知拋物線C：y=mx²-2mx-3m，其中m＞0，與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于C，且OB=OC

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點P為對稱軸右側拋物線上一點，過A、B、P三點作⊙Q，且∠PQB=90°，求點P的坐標；
（3）如圖2，將拋物線C向左平移1個單位，再向上平移$\frac{15}{4}$個單位得到新拋物線C₁，直線y=kx與拋物線C₁交于M、N兩點，$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由解析式可求得B點坐標，再結合條件可求得m的值，可求得拋物線解析式；
（2）當點P在x軸上方時，連接AP交y軸于點S，由條件可求得OA=OC=1，可求得直線AP的解析式，聯立拋物線與直線AP解析式可求得P點坐標，當點P在x軸下方時，同理可求得點P的坐標；
（3）可先求得拋物線C₁的解析式，分別設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則可分別表示出MO和NO，再結合一元二次方程根與系數的關系，整理可得$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$為定值．

解答 解：
（1）在y=mx²-2mx-3m中，令y=0可得mx²-2mx-3m=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OC=OB=3，
∴C（0，-3），即-3m=-3，解得m=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）當P在x軸上方時，連接AP交y軸于點s，如圖，

∵∠PQB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴OA=OS=1，
∴直線AP解析式為y=x+1，
聯立直線AP與拋物線解析式可得x²-2x-3=x+1，解得x=-1（舍去）或x=4，
∴P（4，5）；
當點P在x軸下方時，則直線AP解析式為y=-x-1，
聯立直線AP與拋物線解析式可得x²-2x-3=-x-1，解得x=-1（舍去）或x=2，
∴P（2，-3）；
綜上可知P點坐標為（4，5）或（2，-3）；
（3）為定值．
理由如下：
由平移可知拋物線C₁的解析式為y=x²-$\frac{1}{4}$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴MO²=x₁²+y₁²=y₁+$\frac{1}{4}$+y₁²=（y₁+$\frac{1}{2}$）²，
∴MO=y₁+$\frac{1}{2}$，同理NO=y₂+$\frac{1}{2}$，
∵M、N在直線y=kx上，
∴y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$=$\frac{1}{{y}_{1}+\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}+\frac{1}{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{2}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{4}}$①，
聯立直線y=kx和拋物線C₁解析式可得x²-kx-$\frac{1}{4}$=0，
∵x₁、x₂是方程x²-kx-$\frac{1}{4}$=0的解，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-$\frac{1}{4}$，
代入①式可得：$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$=4，
即$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$為定值．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及函數圖象與坐標軸的交點、待定系數法、圓周角定理、根與系數的關系、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中求得點B的坐標是解題的關鍵，在（2）中求得直線AP的解析式是解題的關鍵，在（3）中用k和根與系數的表示出$\frac{1}{MO}$+$\frac{1}{NO}$是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度較大．