Question

2．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，點D，E在斜邊AC上，且滿足AE=4，BD=3，∠DCE=45°，則DE的長度為（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 如圖，將△ACE繞點C逆時針旋轉90°到△CBF的位置；證明∠A=∠ABC=∠CBF=45°，得到DF²=AE²+BD²，進一步證明△ECD≌△FCD，得到DE=DF，得出DE²=AE²+BD²解決問題．

解答 解：如圖，

將△AEC繞點C逆時針旋轉90°到△CBF的位置；
則CD=CF，AE=BF；∠BCF=∠ACE，∠CBF=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°，
∴∠DBF=90°DEF²=BD²+BF²=AE²+BD²；
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°-45°=45°，而∠ACE=∠BCF，
∴∠DCF=∠DCE=45°；
在△DCE與△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECD=∠FCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，
∴DE²=AE²+BD²=4²+3²=25，
∴DE=5．
故選：C．

點評 此題主要考查了旋轉變換的性質、全等三角形的判定及其性質、勾股定理；解題的關鍵是作旋轉變換，把問題轉換，進一步利用三角形全等的判定與性質以及勾股定理解決問題．