Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交y軸于點A（0，3），交x軸于點B（2，0），點C（6，0），（點B在點C的左側），過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線交y軸于A（0，3），交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0），把以上三點的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值即可求出此二次函數的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c交y軸于A（0，3），交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=4a+2b+c}\\{0=36a+6b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；

（2）相交．
證明：連接CE，則CE⊥BD，
∵拋物線交x軸于B、C兩點坐標分別為（2，0），（6，0）．
∴對稱軸x=$\frac{2+6}{2}$=4，
∴OB=2，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，
解得：CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交．

點評 此題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系等知識，正確利用數形結合是解題關鍵．