Question

5．已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$上有兩點A（-1，-2），B（1，a），直線y=-x+a，P是雙曲線第一象限上一動點．
（1）求雙曲線和直線的解析式；
（2）過P作y軸的平行線，交直線y=-x+a于Q點，設(shè)△PQO的面積為S，S是否存在最小值？若存在則求出最小值，沒有則說明理由．
（3）設(shè)R（a，a），P點到直線y=-x+a的距離為d，求證：$\frac{PR}p9vv5xb5$的值為定值．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$；然后把B（1，a）代入y=$\frac{2}{x}$得a=2，于是可確定一次函數(shù)解析式為y=-x+2；
（2）設(shè)P（t，$\frac{2}{t}$），再表示出Q（t，-t+2），則PQ=$\frac{2}{t}$+t-2，利用三角形面積公式得到S=$\frac{1}{2}$t²-t+1，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求S的最小值；
（3）過點P作PH⊥直線y=-x+2于H，如圖，R（2，2），設(shè)P（t，$\frac{2}{t}$），先利用以次函數(shù)y=-x+2的直線判斷∠PQH=45°，則△PHQ為等腰直角三角形，所以PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{t}$+t-2），再利用兩點間的距離公式得到PR=$\sqrt{（t-2）^{2}+（\frac{2}{t}-2）^{2}}$，利用完全平方公式表示得到PR=$\sqrt{[（t+\frac{2}{t}）-2]^{2}}$，則PQ=$\frac{2}{t}$+t-2，然后可計算$\frac{PR}p9vv5xb5$=$\sqrt{2}$．

解答 （1）解：把A（-1，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-1×（-2）=2
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$；
把B（1，a）代入y=$\frac{2}{x}$得a=2，
所以一次函數(shù)解析式為y=-x+2；
（2）解：S有最小值．
設(shè)P（t，$\frac{2}{t}$），
∵PQ∥y軸，
∴Q點的橫坐標為t，
當x=t時，y=-x+2=-t+2，則Q（t，-t+2），
∴PQ=$\frac{2}{t}$-（-t+2）=$\frac{2}{t}$+t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$•t•（$\frac{2}{t}$+t-2）=$\frac{1}{2}$t²-t+1，
∵S=$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴當t=1時，S有最小值，最小值為$\frac{1}{2}$；
（3）證明：過點P作PH⊥直線y=-x+2于H，如圖，R（2，2），設(shè)P（t，$\frac{2}{t}$），
∵直線y=-x+2可看作直線y=-x向上平移2個單位得到，
∴直線y=-x+2與x軸的正方向的夾角為45°，
∴∠PQH=45°，
∴△PHQ為等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，
即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{t}$+t-2），
∵PR=$\sqrt{（t-2）^{2}+（\frac{2}{t}-2）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+\frac{4}{{t}^{2}}-4t-\frac{8}{t}+8}$=$\sqrt{（t+\frac{2}{t}）^{2}-4（t+\frac{2}{t}）+4}$=$\sqrt{[（t+\frac{2}{t}）-2]^{2}}$=$\frac{2}{t}$+t-2，
∴$\frac{PR}p9vv5xb5$=$\frac{t+\frac{2}{t}-2}{\frac{\sqrt{2}}{2}（t+\frac{2}{t}-2）}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{PR}p9vv5xb5$的值為定值．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大或最小值；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；會運用完全平方公式進行代數(shù)式的變形．