Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若拋物線的頂點為點D，求△BCD的面積；
（3）設M是（1）所得拋物線上第四象限內的一個動點，過點M作直線l⊥x軸交于點F，交直線BC于點N．試問：線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）點在拋物線上，將點的坐標代入即可求得拋物線解析式；
（2）根據圖形的關系，找出△BCD的面積為直角梯形面積減去兩個直角三角形的面積，套入坐標即可求得；
（3）由題意巧設坐標，用未知數m表示出來MN的長度，根據二次函數極值問題即可解決問題．

解答 解：（1）將B（3，0），C（0，-3）兩點的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3，
所以二次函數的表達式為：y=x²-2x-3．
（2）由y=（x-1）²-4得頂點D（1，-4），過D點做DP⊥y軸，垂足為點P，則P（0，-4），如圖

四邊形DPOB為直角梯形，△BOC與△DPC均為直角三角形，
△BCD的面積=梯形DPOB的面積-△BOC的面積-△DPC的面積
=$\frac{1}{2}$（OB+PD）×OP-$\frac{1}{2}$PC×PD-$\frac{1}{2}$CO×OB
又∵O（0，0），C（0，-3），B（3，0），D（1，-4），P（0，-4），
∴△BCD的面積=$\frac{1}{2}$×（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×3=3．
（3）設直線BC的關系式為y=kx+n，
將B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+n得
$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3k+n=0}\end{array}\right.$，解得k=1，n=-3，
∴直線BC的關系式為y=x-3．
設M（m，m²-2m-3），則N（m，m-3），
∴MN=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-${（m-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$
∴當m=$\frac{3}{2}$時，線段MN長度有最大值$\frac{9}{4}$，此時M的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數的綜合應用，解題的關鍵是學會拆分法求圖形面積，并會借助二次函數求極值來解決問題．