Question

12．如圖1，已知直線y=-3x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，S_△BOC=3S_△BOA
（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，一條直線y=mx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與直線AB，BC分別交于點(diǎn)E、F，若S_△BOE=S_△BOF，求m的值；
（3）如圖3，將（2）中直線EF向上平行移動(dòng)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)G，設(shè)H為線段BG上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），連接AH，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AH運(yùn)動(dòng)到H，再沿線段HB運(yùn)動(dòng)到B后停止，若點(diǎn)M在AH上的速度為每秒1個(gè)單位，在HB上的速度為每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸上S_△BOC=S_△AOB可以求出點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．
（2）利用方程組求出點(diǎn)E、F坐標(biāo)，根據(jù)題意OE=OF，說(shuō)明E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可以求出m．
（3）作BP⊥y軸，AK⊥BP垂足為K，因?yàn)辄c(diǎn)M從A→H→B的時(shí)間t=$\frac{AH}{1}$+$\frac{BH}{\sqrt{2}}$=AH+HK=AK，AK是點(diǎn)A到直線BP的垂線段，根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)H就是所找的點(diǎn)，這樣點(diǎn)H的坐標(biāo)就不難求出來(lái)了．

解答 解：（1）∵直線y=-3x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，6），
∵S_△BOC=3S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$×CO×6=3×$\frac{1}{2}$×2×6，
∴CO=6，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（-6，0），
設(shè)直線BC為y=kx+b，B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=x+6．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m-1}}\\{y=\frac{6m}{m-1}}\end{array}\right.$，故F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{6}{m-1}$，$\frac{6m}{m-1}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=-3x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m+3}}\\{y=\frac{6m}{m+3}}\end{array}\right.$，故E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{6}{m+3}$，$\frac{6m}{m+3}$），
∵S_△BOE=S_△BOF，
∴OF=OE，
∴$\frac{6}{m-1}+\frac{6}{m+3}=0$，
解得m=-1，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)x=-1是分式方程的解，
故m=-1．
（3）如圖作BP⊥y軸，AK⊥BP垂足為K，交BG于H，此時(shí)點(diǎn)M從A→H→B用時(shí)最少．
理由：∵直線EF為y=-x，
∴∠AOF=∠COF=45°，
∵BG∥EF，
∴∠GBO=∠BOF=45°，
∵∠PBO=45°，
∴∠KBH=∠BHK=45°，
∴KH=$\frac{BH}{\sqrt{2}}$，
∴點(diǎn)M從A→H→B的時(shí)間t=$\frac{AH}{1}$+$\frac{BH}{\sqrt{2}}$=BH+HK=AK，
∵AK⊥BP，
∴垂線段AK最短，故點(diǎn)M從A→H→B用時(shí)最少，
∵∠AOB=∠OBK=∠AKB=90°，
∴四邊形AOBK是矩形，
∴AK=BO=6，OA=BK=2，
∴BK=HK=2，AH=4，
∴H（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)、垂線段最短、矩形以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用垂線段最短是解決最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．