Question

7．在平面直角坐標系xOy中，已知兩點A（0，3），B（1，0），現將線段AB繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BC，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點C．
（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=$\frac{1}{4}$．
①求點C的坐標及該拋物線的表達式；
②在拋物線上是否存在點P，使得∠POB=∠BAO？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點D（2，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB=∠BAO．若符合條件的Q點的個數是4個，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①過點C作CD⊥x軸于點D，可證△AOB≌△BDC，進一步求出點C的坐標，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
②根據∠POB=∠BAO，求出點P所在的直線解析式，與拋物線聯立為方程組，求出方程組的解，即可得到點P的坐標；
（2）根據拋物線經過點D，C，判斷出拋物線的對稱軸，用a表示拋物線的解析式，并得到頂點坐標，根據題意分a＞0，和a＜0時分類討論即可求解．

解答 解：（1）①如圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D．

∵CD⊥x軸，
∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°．
又∵∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD．
由旋轉的性質可知：AB=BC．
在△AOB和△BDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠BOA}\\{∠ABO=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC．
∴BD=OA=3，CD=OB=1．
∵A（0，3），B（1，0），
∴C（4，1）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，且a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+bx．
將點C的坐標代入得：$\frac{1}{4}$×16+4b=1，解得b=-$\frac{3}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$．
②在坐標平面內取點E（3，1），F（3，-1），作射線OE、OF，分別交拋物線與點P′、點P．

由①可知：OA=3，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{1}{3}$．
∵點E的坐標為（3，1），
∴tan∠EOB=$\frac{1}{3}$．
∴∠EOB=∠BAO．
∵∠POB=∠BAO，
∴點P在射線OE上．
設射線OE的解析式為y=kx，將點的坐標代入得：3k=1，解得：k=$\frac{1}{3}$，
直線OE的解析式為y=$\frac{1}{3}x$．
將y=$\frac{1}{3}x$與y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$聯立解得：x=$\frac{13}{3}$，y=$\frac{13}{9}$．
∴點P′的坐標為（$\frac{13}{3}$，$\frac{13}{9}$）．
同理可知直線OF的解析式為y=-$\frac{1}{3}x$．
將y=-$\frac{1}{3}x$與y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$聯立解得：x=$\frac{5}{3}$，y=-$\frac{5}{9}$．
∴點P′的坐標為（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{9}$）．
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵拋物線經過點C（4，1），D（2，1），
∴拋物線的對稱軸為x=3．
∴x=-$\frac{b}{2a}$=3．
∴b=-6a．
∵將點D的坐標代入得：4a+2b+c=1，
∴c=8a+1．
∴拋物線的解析式為y=ax²-6ax+8a+1．
當x=3時，y=-a+1．
∴拋物線頂點為（3，-a+1）
∵∠QOB=∠BAO，
∴由（1）②可知點Q在射線OE或OF上．
∵符合條件的點Q有4個，
∴射線OE與OF與拋物線各有兩個交點．
①若a＞0時，
直線OE的解析式為y=$\frac{1}{3}x$．
直線OF的解析式為y=-$\frac{1}{3}x$．
分別聯立拋物線，消去y得到關于x的方程：
$a{x}^{2}-（6a+\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由題意得：△=4a²+$\frac{1}{9}$恒大于0，此時與直線OE恒有兩個交點；
$a{x}^{2}-（6a-\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由題意，△=4a²-8a+$\frac{1}{9}$＞0，x₁+x₂=$\frac{6a-\frac{1}{3}}{a}$＞0，x₁•x₂=$\frac{8a+1}{a}$＞0，
解得：a＞1+$\frac{\sqrt{35}}{6}$；
②若a＜0時，
直線OE的解析式為y=$\frac{1}{3}x$．
直線OF的解析式為y=-$\frac{1}{3}x$．
分別聯立拋物線，消去y得到關于x的方程：
$a{x}^{2}-（6a+\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由題意得：△=4a²+$\frac{1}{9}$恒大于0，此時與直線OE恒有兩個交點；
$a{x}^{2}-（6a-\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由題意，△=4a²-8a+$\frac{1}{9}$＞0，x₁+x₂=$\frac{6a-\frac{1}{3}}{a}$＞0，x₁•x₂=$\frac{8a+1}{a}$＞0，
解得：a＜-$\frac{1}{8}$；
綜上所述：若符合條件的Q點的個數是4個，a＞1+$\frac{\sqrt{35}}{6}$或a＜-$\frac{1}{8}$．

點評 此題主要考查二次函數綜合性問題，會用全等的知識求線段，并會用線段表示點的坐標，會運用待定系數法求函數解析式，聯立解析式求方程組的解，進一步求出交點的坐標，會分類討論解決問題是解決此題的關鍵．