Question

如圖，已知P是⊙O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，連接PB．

（1）求BC的長；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

（1）2（2）見解析

解：（1）連接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，
∴弧BC與弧AC的度數為：60°。∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形。
∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。
∴∠CBP=∠CPB。
∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB⊥BP。
∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線。
（1）連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長。
（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，從而證得PB是⊙O的切線。