Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M為△ABC內一點，恰好滿足BA=BM，AM=CM，則∠ABM的度數為30°．

Answer 1

分析 作MD⊥AC于點D，ME⊥AB于點E．先依據等腰三角形三線合一的性質證明AD=$\frac{1}{2}$AC，然后再證明四邊形ADME是矩形，從而可得到EM=$\frac{1}{2}$AC，由AC=AB=BM可得到ME=$\frac{1}{2}$BM，最后，依據特殊銳角三角函數值求解即可．

解答 解：作MD⊥AC于點D，ME⊥AB于點E．

∵MA=MC，MD⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠AEM=∠BAC=∠MDA=90°
∴四邊形ADME是矩形
∴ME=AD=$\frac{1}{2}$AC
∵AB=AC=BM
∴ME=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BM．
∴∠ABM=30°．

點評 本題主要考查的是等腰三角形的性質、矩形的判定和性質、特殊銳角三角函數值的應用，證得ME=$\frac{1}{2}$BM是解題的關鍵．