Question

某學習小組學習了全等三角形的判定和性質以后，想運用全等三角形的知識去研究下面的問題：
【問題提出】如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM、FN分別是△ABC和△DEF的角平分線，且CM=FN，試證明△ABC≌△DEF．
【問題思考】如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，CM、FN分別是△ABC和△DEF的中線，且CM=FN，試探究∠B與∠E的關系，請寫出你的結論：

 

（不要求證明）
【深入研究】小組同學進一步探究，若把問題2變為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，CM、FN分別是△ABC和△DEF的高，且CM=FN，試探究∠B=∠E的關系，請寫出你的結論：

 

（不要求證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：探究型

分析：（1）首先利用三角形的內角和求得∠ACB=∠DFE，進一步得出∠ACM=∠DFN，證得△ACM≌△DFN，得出AC=DF，進一步證得△ABC≌△DEF；
（2）延長CM至P，使得CM=MP，連接BP，延長FN至Q，使得FN=NQ，連接EQ，證得△ACM≌△BPM，△DFN≌△EQN，進步得出△ABC≌△DEF，得出結論；
（3）當高CM、FN在△ABC和△DEF的內部，∠B=∠E；當其中一條高在三角形的外部，一條高在三角形的內部，則∠B+∠E=180°．

解答： 解：（1）∵在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠ACB=∠DFE，
∵CM、FN分別是△ABC和△DEF的角平分線，
∴∠ACM=

1

2

∠ACB，∠DFN=

1

2

∠DFE，
∴∠ACM=∠DFN，
在△ACM和△DFN中，

∠A=∠D ∠ACM=∠DFN CM=FN

，
∴△ACM≌△DFN（AAS），
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

∠A=∠D AC=DF ∠B=∠E

，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
（2）如圖，

延長CM至P，使得CM=MP，連接BP，延長FN至Q，使得FN=NQ，連接EQ，
得出△ACM≌△BPM，△DFN≌△EQN，
進步得出△ABC≌△DEF，
∠B=∠E．
（3）如圖，

類比（2）方法得出∠B=∠E，
如圖，

∠B+∠E=180°．

點評：此題考查三角形全等的判定與性質，掌握三角形全等的判定與性質是解決問題的關鍵．