Question

1．如圖1，把一塊等腰直角三角尺（BC=AC，∠ACB=90°）放入一個固定的“U”型槽ADEB中，使三角尺的三個頂點A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知∠E=∠D=90°．
（1）在滑動過程中，△BEC與△CDA是否全等？請說明理由．
（2）在滑動過程中，四邊形ABED的面積是否發生變化？為什么？
（3）利用（1）中所得結論，嘗試解決下列問題：如圖2，已知直線l₁：y=3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l₁繞著A點順時針旋轉45°得到直線l₂，試求直線l₂的函數解析式．

Answer 1

分析 （1）根據同角的余角相等得到∠EBC=∠DCA，根據AAS定理證明△BEC≌△CDA；
（2）根據全等三角形的性質得到EC=AD，BE=CD，根據梯形的面積公式計算即可；
（3）過點B作直線l₁的垂線交直線l₂與點P，過P作PQ⊥x軸于Q，根據旋轉變換的性質求出點P的坐標，運用待定系數法求出一次函數解析式即可．

解答 解：（1）△BEC與△CDA全等，
證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∵∠E=90°
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△BEC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠DCA}\\{∠E=∠D}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CDA；
（2）∵△BEC≌△CDA，
∴EC=AD，BE=CD，
∴四邊形ABED的面積=$\frac{1}{2}$×（BE+AD）×DE
=$\frac{1}{2}$×（CD+EC）×DE
=$\frac{1}{2}$DE²，
∴在滑動過程中，四邊形ABED的面積沒有發生變化，為$\frac{1}{2}$DE²；
（3）∵y=3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，3），B（-1，0），
如圖2，過點B作直線l₁的垂線交直線l₂與點P，過P作PQ⊥x軸于Q，
由旋轉可知：∠BAP=45°，
所以△ABP是等腰直角三角形，
又（1）可知△BPQ≌△ABO，
所以PQ=BO=1，BQ=AO=3，
所以P（-4，1），
設直線l₂的解析式為：y=kx+b，
將P（-4，1）、A（0，3）代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3．

點評 本題考查的是一次函數的綜合應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質以及待定系數法求一次函數解析式的一般步驟是解題的關鍵．