Question

4．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）當點D在AC上時，如圖1，試猜想線段BD和CE的數量關系是相等；位置關系是垂直．
（2）將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角，（0°＜α＜90°），如圖2，（1）中的結論是否成立，若成立，請給出證明；若不成立說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長BD與EC交于點F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解題；
（2）BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；延長BD交AC于F，交CE于H，構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據三角形內角和定理證得∠BHC=90°．

解答 解：（1）延長BD與EC交于點F，

在△ACE和△ADB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠AEC=90°
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE．
故答案為：相等，垂直；

（2）成立，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，
延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°，
∴BD⊥CE．

點評 本題主要考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質及三角形的內角和定理，根據等腰三角形的性質得出三角形的兩條邊相等，據此根據判定證三角形的全等是解題的關鍵．