Question

9．如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S_{四邊形AOBO′}=6+3$\sqrt{3}$．其中正確的結論是①②③．

Answer 1

分析 連接OO′，如圖，先利用旋轉的性質得BO′=BO=4，∠OBO′=60°，再利用△ABC為等邊三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，則根據旋轉的定義可判斷△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；接著證明△BOO′為等邊三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=4；根據旋轉的性質得到AO′=OC=5，利用勾股定理的逆定理證明△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′可計算出S_{四邊形AOBO′}=6+4$\sqrt{3}$．

解答 解：連接OO′，如圖
∵線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，
∴BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，則①正確；
∵BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∴△BOO′為等邊三角形，
∴∠BOO′=60°，OO′=OB=4，所以②正確；
∵△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，
∴AO′=OC=5，
在△AOO′中，∵OA=3，OO′=4，AO′=5，
∴OA²+OO′²=AO′²，
∴△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正確；
S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，所以④錯誤．
故答案為①②③．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和勾股定理的逆定理．